Question

（2011•崇明县二模）（理）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA=AD=2，点E、F、G分别为线段PA、PD和CD的中点．
（1）求异面直线EG与BD所成角的大小；
（2）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离恰为

4

5

？若存在，求出线段CQ的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）以点A为坐标原点，射线AB，AD，AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建系如图示，写出点E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），和向量

EG

=(1，2，-1)，

BD

=(-2，2，0)的坐标，利用异面直线EG与BD所成角公式求出异面直线EG与BD所成角大小即可；
（2）对于存在性问题，可先假设存在，即先假设在线段CD上存在一点Q满足条件，设点Q（x₀，2，0），平面EFQ的法向量为

n

=(x，y，z)，再点A到平面EFQ的距离，求出x₀，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（1）以点A为坐标原点，射线AB，AD，AZ分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系如图示，点E（0，0，1）、G（1，2，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0），
则

EG

=(1，2，-1)，

BD

=(-2，2，0)．
设异面直线EG与BD所成角为θ cosθ=

| EG • BD |

|EG| • |BD|

=

|-2+4|

6 • 8

=

3

6

，
所以异面直
线EG与BD所成角大小为 arccos

3

6

．
（2）假设在线段CD上存在一点Q满足条件，
设点Q（x₀，2，0），平面EFQ的法向量为

n

=(x，y，z)，
则有

n  • EF =0  n  • EQ =0

得到y=0，z=xx₀，取x=1，
所以

n

=(1，0，x0)，
则

| EA •  n  |

|n|

=0.8，
又x₀＞0，解得 x0=

4

3

，
所以点 Q(

4

3

，2，0)即

CQ

=(-

2

3

，0，0)，
则

|CQ|

=

2

3

．
所以在线段CD上存在一点Q满足条件，且线段CQ的长度为

2

3

．

点评：考查利用空间向量证明垂直和求夹角和距离问题，以及平行向量与共线向量的判定定理，体现 了转化的思想方法，属中档题．