Question

已知函数f（x）=lnx-

1

2

ax²-2x（a＜0）
（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（2）若a=-

1

2

且关于x的方程f（x）=-

1

2

x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．
（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题．

解答：解：（1）f'（x）=-

ax2+2x-1

x

（x＞0）
依题意f'（x）≥0 在x＞0时恒成立，即ax²+2x-1≤0在x＞0恒成立．
则a≤

1-2x

x2

=在x＞0恒成立，
即a≤[(

1

x

-1)2-1]min  x＞0
当x=1时，(

1

x

-1)2-1取最小值-1
∴a的取值范围是（-∝，-1]
（2）a=-

1

2

，f（x）=-

1

2

x+b∴

1

4

x2-

3

2

x+lnx-b=0
设g（x）=

1

4

x2-

3

2

x+lnx-b(x＞0)则g'（x）=

(x-2)(x-1)

2x

列表：

∴g（x）极小值=g（2）=ln2-b-2，g（x）极大值=g（1）=-b-

5

4

，
又g（4）=2ln2-b-2
∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．
则

g(1)≥0 g(2)＜0 g(4)≥0

，得ln2-2＜b≤-

5

4

．

点评：本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．