题目内容

设y=f(x)是定义在区间[－1，1]上的函数，且满足条件：①f(－1)=f(1)=0；②对任意的u，v∈[－1，1]，都有．

(1)证明：对任意的x∈[－1，1]，都有x－1≤f(x)≤1－x．

(2)证明：对任意的u，v∈[－1，1]，都有．

(3)在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x)，且使得：

若存在，请举一例；若不存在，请说明理由．
答案：略
解析：

(1)证明：由题设条件可知，当：x∈[－1，1]时，

有．

即x－1≤f(x)≤1－x．

(2)证明：对任意的u，v∈[－1，1]，

当时，有．

当时，有，不妨设u＜0，v＞0，且v－u＞1，

所以．

综上可知：对任意的u，v∈[－1，1]，都有．

(3)解：满足所述条件的函数不存在．

理由如下：假设存在函数f(x)满足条件，则由|f(u)－f(v)|=|u－v|．

u，，得．

又f(1)=0，所以．

又因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0．由条件|f(u)－f(v)|＜|u－v|，u，，得．这与矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在．


练习册系列答案
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设y=f(x)是定义在区间［-1,1］上的函数,且满足条件:

①f(-1)=f(1)=0;

②对任意u,v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.

(1)证明对任意的x∈［-1,1］,都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)证明对任意的u,v∈［-1,1］,都有|f(u)-f(v)|≤1;

(3)在区间［-1,1］上是否存在满足条件的奇函数y=f(x),且使得

若存在,请举一例;若不存在,请说明理由.
设y=f(x)是定义在区间［-1,1］上的函数,且满足条件:

①f(-1)=f(1)=0;

②对任意u,v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.

(1)证明对任意的x∈［-1,1］,都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)证明对任意的u,v∈［-1,1］,都有|f(u)-f(v)|≤1;

(3)在区间［-1,1］上是否存在满足条件的奇函数y=f(x),且使得

若存在,请举一例;若不存在,请说明理由.

设y=f(x)是定义在区间（a，b）（b＞a）上的函数，若对x1、x2∈（a，b），都有|f(x1)-f(x2)|≤|x1-x2|，则称y=f(x)是区间（a，b）上的平缓函数．
（1）试证明对k∈R，f(x)=x2+kx+1都不是区间（-1，1）上的平缓函数；
（2）若f(x)是定义在实数集R上的、周期为T=2的平缓函数，试证明对x1、x2∈R，|f(x1)-f(x2)|≤1．
设y=f(x)是定义在［-1，1］上的函数，且满足:

(i)f(-1)=f(1)=0;

(ii)对任意的u、v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.

(1)证明对x∈［-1,1］都有x-1≤f(x)≤1-x;

(2)证明对任意的u、v∈［-1,1］都有|f(u)-f(v)|≤1.

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