题目内容

若奇函数f（x）在定义域（-1，1）上是减函数
（1）求满足f（1-a）+f（1-a²）＜0的集合M
（2）对（1）中的a，求函数F（x）=log_a[1- $数学公式$ ]的定义域．

解：（1）∵f（x）是奇函数，又f（1-a）+f（1-a²）＜0，
∴f（1-a）＜-f（1-a²）=f（a²-1）
又∵f（x）是减函数，
∴1-a＞a²-1
再由x∈（-1，1）得-1＜a²-1＜1-a＜1
即 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
解得M={a|0＜a＜1}
（2）为使F（x）=log_a[1-（ $\text{[math]}$ ）^x2-x]有意义，
则 $\text{[math]}$ ＞0
即 $\text{[math]}$
∵0＜a＜1，∴ $\text{[math]}$ ，u= $\text{[math]}$ 是增函数
∴x²-x＜0，解得0＜x＜1，
∴F（x）的定义域为{x|0＜x＜1}
分析：（1）由f（x）是奇函数，且f（1-a）+f（1-a²）＜0，可得f（1-a）＜-f（1-a²）=f（a²-1），结合f（x）在x∈（-1，1）是减函数得-1＜a²-1＜1-a＜1，解不等式可求M
（2）由题意可得 $\text{[math]}$ ＞0，结合0＜a＜1，可知，u= $\text{[math]}$ 是增函数可得x²-x＜0，可求
点评：本题主要考查了利用函数的奇偶性及函数的单调性解不等式，对数函数定义域的求解及知识函数单调性的应用，属于函数知识的综合应用．