题目内容
已知复数z1=2sinθ-
i， z2=1+(2cosθ)i， θ∈[0，π]．
（1）若z1•z2∈R，求角θ；
（2）复数z1，z2对应的向量分别是
，
，存在θ使等式（λ
+
）•（
+λ
）=0成立，求实数λ的取值范围．
| 3 |
（1）若z1•z2∈R，求角θ；
（2）复数z1，z2对应的向量分别是
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）∵z1•z2=(2sinθ-
i)(1+2icosθ)=(2sinθ+2
cosθ)+(2sin2θ-
)i是实数，
∴2sin2θ-
=0，∴sin2θ=
，
∵0≤θ≤π，∴0≤2θ≤2π，∴2θ=
或
，解得θ=
或
．
（2）∵
2+
2=(2sinθ)2+(-
)2+1+（2cosθ）2=8，
•
=(2sinθ，-
)•(1，2cosθ)=2sinθ-2
cosθ，
∴(λ
+
)•(
+λ
)=λ(
2+
2)+(1+λ2)
•
=8λ+(1+λ2)(2sinθ-2
cosθ)=0，
化为sin(θ-
)=-
，
∵θ∈[0，π]，∴(θ-
)∈[-
，
]，∴sin(θ-
)∈[-
，1]．
∴-
≤-
≤1，解得λ≥
或λ≤
．
实数λ的取值范围是(-∞，
)∪(
，+∞)．
| 3 |
| 3 |
| 3 |
∴2sin2θ-
| 3 |
| ||
| 2 |
∵0≤θ≤π，∴0≤2θ≤2π，∴2θ=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
（2）∵
| a |
| b |
| 3 |
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
∴(λ
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
=8λ+(1+λ2)(2sinθ-2
| 3 |
化为sin(θ-
| π |
| 3 |
| 2λ |
| 1+λ2 |
∵θ∈[0，π]，∴(θ-
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
∴-
| ||
| 2 |
| 2λ |
| 1+λ2 |
| 3 |
| ||
| 3 |
实数λ的取值范围是(-∞，
| ||
| 3 |
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