Question

已知复数z₁=2cosα+（2sinα）i，z₂=cosβ+（sinβ）i（α，β∈R），
（1）若z1+z2=

2

+i，求cos（α-β）的值；
（2）若z₂对应的点P在直线x+y-

5

3

=0上，且0＜β＜π，求sinβ-cosβ的值；

Answer 1

（1）z1+z2=

2

+i?

2cosα+cosβ= 2    (1) 2sinα+sinβ=1   (2)

，
由（1）²+（2）²得：5+4cos（α-β）=3，
∴cos(α-β)=-

1

2

，
（2）由已知得cosβ+sinβ-

5

3

=0，即cosβ+sinβ=

5

3

，
∴(cosβ+sinβ)2=1+2sinβcosβ=

5

9

，
∴2sinβcosβ=-

4

9

，
∴(sinβ-cosβ)2=1-2sinβcosβ=

13

9

，
∵0＜β＜π，
∴sinβ＞0，cosβ＜0，
∴sinβ-cosβ=

13

3

．