Question

已知复数z₁=m+（4-m²）i（m∈R），z₂=2cosθ+（λ+2sinθ）i（λ∈R），若z₁=z₂，试求λ的取值范围．

Answer 1

分析：利用复数相等的条件，得到关系式，然后消去m利用θ的三角函数的值，即可求出λ的范围．

解答：解：复数z₁=m+（4-m²）i（m∈R），z₂=2cosθ+（λ+2sinθ）i（λ∈R），若z₁=z₂，所以m=2cosθ；λ+2sinθ=4-m²，
所以λ=4sin²θ-2sinθ=4(sinθ-

1

4

)2-

1

4

，当sinθ=-

1

4

时函数取得最小值，当sinθ=-1时函数取得最大值，所以-

1

4

≤λ ≤6；
所求λ的取值范围：-

1

4

≤λ ≤6．

点评：本题是中档题，以复数为载体，考查函数与方程的思想，三角函数的最值的应用，注意转化思想的应用是本题的关键．