题目内容

【题目】已知函数是上的偶函数，对于任意，都有成立，当时，有给出下列命题：

①；

②函数的周期是6；

③函数在上为增函数；

④函数在上有四个零点．

其中所有正确命题的序号为_______________．（把所有正确命题的序号都填上）

【答案】①②④

【解析】

根据所给条件，结合周期函数定义，增函数定义，求出函数的零点，逐项判断，即可求得答案.

对于①，对于任意，都有成立，

，则，

又是上的偶函数，

．

故①是正确命题

对于②，由①，代入

可得：

函数的周期是

故②是正确命题

对于③，当，且时，

变形可得

函数在上为增函数，

是上的偶函数，

函数在上为减函数

而的周期为，

函数在上为减函数.

故③是错误命题

对于④，，f(x)的周期为，

，

故函数在上有四个零点.

故④是正确命题

故答案为：①②④.

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