题目内容
12．已知双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x，焦点坐标为（-$\sqrt{6}$，0），（$\sqrt{6}$，0），则双曲线方程为（ ）| A． | $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1 | B． | $\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1 | C． | $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1 | D． | $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1 |
分析 设双曲线的方程是${x}^{2}-\frac{1}{2}{y}^{2}=λ$，即$\frac{{x}^{2}}{λ}-\frac{{y}^{2}}{2λ}=1$．又焦点坐标为（-$\sqrt{6}$，0），（$\sqrt{6}$，0），故λ+2λ=6，由此可知λ=2，代入可得答案．
解答 解：∵双曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{2}$x，
∴设双曲线的方程是${x}^{2}-\frac{1}{2}{y}^{2}=λ$，即$\frac{{x}^{2}}{λ}-\frac{{y}^{2}}{2λ}=1$．
又焦点坐标为（-$\sqrt{6}$，0），（$\sqrt{6}$，0），
故λ+2λ=6，∴λ=2，
∴双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故选：C．
点评 本题考查双曲线的性质和应用，正确设出方程是关键．
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1．下列命题错误的是（ ）
| A． | 若a，b∈R+，则$\sqrt{ab}$≥$\frac{2ab}{a+b}$ | B． | $\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2成立，当且仅当a，b∈R+ | ||
| C． | 若a，b∈R+，则$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$≥$\frac{2}{ab}$ | D． | 若a，b∈R+，则$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$≥$\frac{a+b}{2}$ |