Question

1．下列命题错误的是（　　）

• A． 若a，b∈R⁺，则$\sqrt{ab}$≥$\frac{2ab}{a+b}$
• B． $\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2成立，当且仅当a，b∈R⁺
• C． 若a，b∈R⁺，则$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$≥$\frac{2}{ab}$
• D． 若a，b∈R⁺，则$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$≥$\frac{a+b}{2}$

Answer 1

分析 由基本不等式成立的范围和等号成立的条件，逐个选项验证可得．

解答 解：选项A正确，a，b∈R⁺，则$\frac{2ab}{a+b}$≤$\frac{2ab}{2\sqrt{ab}}$=$\sqrt{ab}$；
选项B错误，$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2成立，当且仅当ab同号时成立；
选项C正确，a，b∈R⁺，$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$≥2$\sqrt{\frac{1}{{a}^{2}}•\frac{1}{{b}^{2}}}$=$\frac{2}{ab}$；
选项D正确，a，b∈R⁺，则$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4}+\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{4}}$≥$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2ab}{4}}$=$\frac{a+b}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查基本不等式成立的范围和等号成立的条件，属基础题．