Question

16．己知函数f（x）=|lg（x+1）|．
（1）若a，b∈R且α＜b，满足f（$\frac{a}{2}$）=f（-$\frac{b+2}{b+4}$），f（5a+3b+21）=4lg2，求a，b；
（2）函数g（x）满足1-$\frac{1}{m}$g（x）=f（10^2x-1-1），m为常数且m＞0，若x₀满足g（g（x₀））=x₀，但g（x₀）≠x₀，则称x₀为函数g（x）的二阶不动点，如果g（x）有二阶不动点x₁，x₂，试确定m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数f（x）=|lg（x+1）|，α＜b，f（$\frac{a}{2}$）=f（-$\frac{b+2}{b+4}$），f（5a+3b+21）=4lg2，构造关于a，b的方程组，解得答案．
（2）根据已知中二阶不动点的定义，先求出g（x）的解析式，再分类讨论不同情况下，g（x）是否有二阶不动点x₁，x₂，最后综合讨论结果，可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|lg（x+1）|，f（$\frac{a}{2}$）=f（-$\frac{b+2}{b+4}$），f（5a+3b+21）=4lg2=lg16，
∴$\frac{a}{2}$=-$\frac{b+2}{b+4}$，或（$\frac{a}{2}$+1）（-$\frac{b+2}{b+4}$+1）=1，5a+3b+22=16或16（5a+3b+22）=1，
又∵α＜b，
∴①当$\frac{a}{2}$=-$\frac{b+2}{b+4}$，5a+3b+22=16时，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=-2\end{array}\right.$（舍去），或$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{4}{5}\\ b=-\frac{2}{3}\end{array}\right.$
②当（$\frac{a}{2}$+1）（-$\frac{b+2}{b+4}$+1）=1，5a+3b+22=16时，解得：$\left\{\begin{array}{l}a=0\\ b=-2\end{array}\right.$（舍去）；
③当$\frac{a}{2}$=-$\frac{b+2}{b+4}$，16（5a+3b+22）=1不存在满足条件的a，b的值；
④当（$\frac{a}{2}$+1）（-$\frac{b+2}{b+4}$+1）=1，16（5a+3b+22）=1时，不存在满足条件的a，b的值；
综上所述：$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{4}{5}\\ b=-\frac{2}{3}\end{array}\right.$，
（2）∵1-$\frac{1}{m}$g（x）=f（10^2x-1-1）=|lg（10^2x-1-1+1）|=|lg（10^2x-1）|=|2x-1|．
∴$\frac{1}{m}$g（x）=1-|2x-1|，
∴g（x）=m（1-|2x-1|），
当0＜m＜$\frac{1}{2}$时，有g（g（x））=$\left\{\begin{array}{l}4{m}^{2}x，x≤\frac{1}{2}\\ 4{m}^{2}（1-x），x＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$．
∴g（g（x））=x只有一个解x=0，
又∵g（0）=0，故0不是二阶不动点．
当m=$\frac{1}{2}$时，有g（g（x））=$\left\{\begin{array}{l}x，x≤\frac{1}{2}\\ 1-x，x＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$．
∴g（g（x））=x有解集，{x|x≤$\frac{1}{2}$}，故此集合中的所有点都不是二阶不动点．
当m＞$\frac{1}{2}$时，有g（g（x））=$\left\{\begin{array}{l}4{m}^{2}x，x≤\frac{1}{4m}\\ 2m-4{m}^{2}x，\frac{1}{4m}＜x≤\frac{1}{2}\\ 2m（1-2m）+4{m}^{2}x，\frac{1}{2}＜x≤\frac{4m-1}{4m}\\ 4{m}^{2}-4{m}^{2}x，x＞\frac{4m-1}{4m}\end{array}\right.$，
∴g（g（x））=x有四个解：0，$\frac{2m}{1+4{m}^{2}}$，$\frac{2m}{1+2m}$，$\frac{4{m}^{2}}{1+4{m}^{2}}$．
由g（0）=0，g（$\frac{2m}{1+2m}$）=$\frac{2m}{1+2m}$，g（$\frac{2m}{1+4{m}^{2}}$）≠$\frac{2m}{1+4{m}^{2}}$，g（$\frac{4{m}^{2}}{1+4{m}^{2}}$）≠$\frac{4{m}^{2}}{1+4{m}^{2}}$．
故只有$\frac{2m}{1+4{m}^{2}}$，$\frac{4{m}^{2}}{1+4{m}^{2}}$是g（x）的二阶不动点，
综上所述，所求m的取值范围为m＞$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的知识点是对数的运算性质，对数函数的图象和性质，绝对值函数，新定义二阶不动点，本题综合性强，运算量大，转化困难，属于难题．