Question

（理）已知函数若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），则a+b+c的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：根据题意，在坐标系里作出函数的图象，将直线y=y进行平行移动，可得左边两个交点关于直线x=对称，故a+b=1，再观察对数函数图象得c满足1＜c＜2011，才能使两个图象有三个公共点，最后综合以上两点，可得出a+b+c的取值范围．
解答：作出函数的图象如图，直线y=y交函数图象于如图，由正弦曲线的对称性，
可得A（a，y）与B（b，y）关于直线x=对称，因此a+b=1

当直线线y=y向上平移时，经过点（2011，1）时图象两个图象恰有两个公共点（A、B重合）
所以0＜y＜1时，两个图象有三个公共点，此时满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），
说明1＜c＜2011，因此可得a+b+c∈（2，2012）
故答案为（2，2012）
点评：本题以三角函数和对数函数为例，考查了函数的零点与方程根个数讨论等知识点，属于中档题．利用数形结合，观察图象的变化，从而得出变量的取值范围是解决本题的关键．