题目内容
如图,在棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD中,
(1)求直线B1D与平面A1BC1所成的角;
(2)求点A到面A1BC1的距离.
(1)求直线B1D与平面A1BC1所成的角;
(2)求点A到面A1BC1的距离.
分析:(1)分别以AB,AD,AA1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线B1D与平面A1BC1所成的角.
(2)由
=(0,0,1),平面A1BC1的法向量
=(1,-1,1),利用向量法能求出点A到面A1BC1的距离.
(2)由
AA1 |
n |
解答:解:分别以AB,AD,AA1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
∵正方体A1B1C1D1-ABCD棱长为1,
∴B1(1,0,1),D(0,1,0),
=(-1,1,-1),
∵A1(0,0,1),B(1,0,0),C1(1,1,1),
∴
=(1,0,-1),
=(1,1,0),
设平面A1BC1的法向量
=(x,y,z),则
•
=0,
•
=0,
∴
,解得
=(1,-1,1),
设直线B1D与平面A1BC1所成的角为θ,
则sinθ=|cos<
,
>|=|
|=1,
∴直线B1D与平面A1BC1所成的角为90°.
(2)∵
=(0,0,1),平面A1BC1的法向量
=(1,-1,1),
∴点A到面A1BC1的距离d=
=
=
.
∵正方体A1B1C1D1-ABCD棱长为1,
∴B1(1,0,1),D(0,1,0),
B1D |
∵A1(0,0,1),B(1,0,0),C1(1,1,1),
∴
A1B |
A1C1 |
设平面A1BC1的法向量
n |
n |
A1B |
n |
A1C1 |
∴
|
n |
设直线B1D与平面A1BC1所成的角为θ,
则sinθ=|cos<
n |
B1D |
-1-1-1 | ||||
|
∴直线B1D与平面A1BC1所成的角为90°.
(2)∵
AA1 |
n |
∴点A到面A1BC1的距离d=
|
| ||||
|
|
|0+0+1| | ||
|
| ||
3 |
点评:本题考查直线与平面所成角的大小的求法,考查点到平面的距离的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.
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