题目内容

如图,在棱长为1的正方体A1B1C1D1-ABCD中,
(1)求直线B1D与平面A1BC1所成的角;
(2)求点A到面A1BC1的距离.
分析:(1)分别以AB,AD,AA1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线B1D与平面A1BC1所成的角.
(2)由
AA1
=(0,0,1),平面A1BC1的法向量
n
=(1,-1,1),利用向量法能求出点A到面A1BC1的距离.
解答:解:分别以AB,AD,AA1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
∵正方体A1B1C1D1-ABCD棱长为1,
∴B1(1,0,1),D(0,1,0),
B1D
=(-1,1,-1),
∵A1(0,0,1),B(1,0,0),C1(1,1,1),
A1B
=(1,0,-1),
A1C1
=(1,1,0),
设平面A1BC1的法向量
n
=(x,y,z),则
n
A1B
=0
n
A1C1
=0,
x-z=0
x+y=0
,解得
n
=(1,-1,1),
设直线B1D与平面A1BC1所成的角为θ,
则sinθ=|cos<
n
B1D
>|=|
-1-1-1
3
3
|=1,
∴直线B1D与平面A1BC1所成的角为90°.
(2)∵
AA1
=(0,0,1),平面A1BC1的法向量
n
=(1,-1,1),
∴点A到面A1BC1的距离d=
|
AA1
n
|
|
n
|
=
|0+0+1|
3
=
3
3
点评:本题考查直线与平面所成角的大小的求法,考查点到平面的距离的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.
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