Question

【题目】已知动点M到点N（1，0）和直线l：x=﹣1的距离相等． （Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）已知不与l垂直的直线l'与曲线E有唯一公共点A，且与直线l的交点为P，以AP为直径作圆C．判断点N和圆C的位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设动点M（x，y），

由抛物线定义可知点M的轨迹E是以N（1，0）为焦点，直线l：x=﹣1为准线的抛物线，

所以轨迹E的方程为y2=4x．

（Ⅱ）点N在以PA为直径的圆C上．

理由：由题意可设直线l'：x=my+n，

由 可得y2﹣4my﹣4n=0（*），

因为直线l'与曲线E有唯一公共点A，

所以△=16m2+16n=0，即n=﹣m2．

所以（*）可化简为y2﹣4my+4m2=0，

所以A（m2，2m），

令x=﹣1得 ，

因为n=﹣m2，

所以

所以NA⊥NP，

所以点N在以PA为直径的圆C上

【解析】（Ⅰ）利用抛物线的定义，即可求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）由题意可设直线l'：x=my+n，由 可得y2﹣4my﹣4n=0，求出A，P的坐标，利用向量的数量积，即可得出结论．