题目内容

已知函数f（x）=2sinxcosx-2sin²x+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， $数学公式$ ，A为锐角，且 $数学公式$ ，求△ABC面积S的最大值．

解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinxcosx-sin²x+1
=2sinxcosx+cos2x
=sin2x+cos2x
= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ cos2x）
= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ）---（2分）
∴f（x）的最小正周期为π；--------------------（3分）
∵- $\text{[math]}$ +2kπ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2kπ（k∈Z），
∴- $\text{[math]}$ +kπ≤x≤ $\text{[math]}$ +kπ（k∈Z），
∴f（x）的增区间为（- $\text{[math]}$ +kπ， $\text{[math]}$ +kπ）（k∈Z），-----------（6分）
（Ⅱ）∵f（A+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ sin（2A+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∴cos2A= $\text{[math]}$ ，
∴2cos²A-1= $\text{[math]}$ ，
∵A为锐角，即0＜A＜ $\text{[math]}$ ，
∴cosA= $\text{[math]}$ ，
∴sinA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．--------------------（8分）
又∵a= $\text{[math]}$ ，由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即 $\text{[math]}$ =b²+c²-2bc• $\text{[math]}$ ，
∵b²+c²≥2bc，
∴bc≤ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．-------------------------（10分）
∴S= $\text{[math]}$ bcsinA≤ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．---------（12分）
分析：（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系将f（x）=2sinxcosx-2sin²x+1（x∈R）转化为f（x）= $\text{[math]}$ sin（2x+ $\text{[math]}$ ），利用正弦函数的性质即可求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）由f（A+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，可求得cos2A= $\text{[math]}$ ，而A为锐角，可求得cosA、sinA，又a= $\text{[math]}$ ，利用余弦定理与基本不等式可得bc≤ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，从而可求得△ABC面积S的最大值．
点评：本题考查同角三角函数基本关系，考查正弦函数的单调性与最值，突出余弦定理与基本不等式的应用，综合性强，属于中档题．