题目内容

已知函数f（x）=ax²+4x-2，若对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有 $数学公式$ ．
（1）求实数a的取值范围；
（2）对于给定的实数a，有一个最小的负数M（a），使得x∈[M（a），0]时，-4≤f（x）≤4都成立，则当a为何值时，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．

解：（1）∵ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∵x₁≠x₂，∴a＞0．∴实数a的取值范围为（0，+∞）．
（2）∵ $\text{[math]}$ ，
显然f（0）=-2，对称轴 $\text{[math]}$ ．
①当 $\text{[math]}$ ，即0＜a＜2时， $\text{[math]}$ ，且f[M（a）]=-4．
令ax²+4x-2=-4，解得 $\text{[math]}$ ，
此时M（a）取较大的根，即 $\text{[math]}$ ，
∵0＜a＜2，∴ $\text{[math]}$ ．
②当 $\text{[math]}$ ，即a≥2时， $\text{[math]}$ ，且f[M（a）]=4．
令ax²+4x-2=4，解得 $\text{[math]}$ ，
此时M（a）取较小的根，即 $\text{[math]}$ ，
∵a≥2，∴ $\text{[math]}$ ．当且仅当a=2时，取等号．
∵-3＜-1∴当a=2时，M（a）取得最小值-3．
分析：（1）先将 $\text{[math]}$ 用函数f（x）的表达式表示出来，再进行化简得： $\text{[math]}$ ，由此式即可求得实数a的取值范围；
（2）本小题可以从a的范围入手，考虑0＜a＜2与a≥2两种情况，结合二次的象与性质，综合运用分类讨论思想与数形结合思想求解．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．