Question

16．设f（x）为二次函数，且f（1）=1，对于任意x∈R都有f（x+1）-f（x）=-4x+1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=f（x）-x-a，若不等式g（x）＞0无解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设二次函数解析式为：f（x）=ax²+bx+c，a≠0，根据已知构造方程组，解得a，b，c的值，可得f（x）的解析式；
（2）由（1）得：g（x）=f（x）-x-a=-x²-3x+3-a，结合二次函数的图象和性质，可得若不等式g（x）＞0无解，则△=9+4（3-a）≤0，解得a的取值范围．

解答 解：（1）设二次函数解析式为：f（x）=ax²+bx+c，a≠0，
∵f（1）=1，且f（x+1）-f（x）=-4x+1．
∴a+b+c=1，且a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2ax+a+b=-4x+1，
∴a=-2，b=3，a=-1，
∴f（x）=-x²-2x+3，
（2）∵g（x）=f（x）-x-a=-x²-3x+3-a，
若不等式g（x）＞0无解，
则△=9+4（3-a）≤0，
解得：a≥$\frac{21}{4}$，

点评 本题考查了二次函数的图象与性质、不等式恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．