Question

设函数f（x）=x（

1

2

）^x+

1

x+1

，O为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N^*）的点，向量

OAn

与向量

i

=（1，0）的夹角为θ_n，则满足tanθ1+tanθ2+…+tanθn＜

5

3

的最大整数n的值为______．

Answer 1

由题意An(n，n(

1

2

)n+

1

n+1

)，

OAn

=(n，n(

1

2

)n+

1

n+1

)
又向量

OAn

与向量

i

=（1，0）的夹角为θ_n，
∴tanθ_n=(

1

2

)n+

1

n(n+1)

=(

1

2

)n+

1

n

-

1

n+1

又tanθ1+tanθ2+…+tanθn＜

5

3

∴

1 2 ×[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

+1-

1

n+1

＜

5

3

∴2-(

1

2

)n-

1

n+1

＜

5

3

∴(

1

2

)n+

1

n+1

＞

1

3

，令n=1，2，3，4，分别代入验证知，n可取的最大值为3