题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,
,
,
垂直于底面
,
,
,
分别为
,
的中点.
(Ⅰ)求证: ;
(Ⅱ)求四棱锥的体积和截面
的面积.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)先根据线面垂直性质定理得,而
,所以由线面垂直判定定理得
平面
,即得
, 再由等腰三角形性质得
,因此由线面垂直判定定理得
平面
,即证得
;(2)易得四棱锥
的高
,再根据锥体体积公式得四棱锥的体积
;要求截面
的面积,先确定截面
的形状:由三角形中位线性质得
,即得
,而
平面
,所以
,即四边形
是直角梯形,最后利用直角梯形面积公式求解面积.
试题解析:(Ⅰ)证明:∵是
的中点,
,∴
,
由底面
,得
,
又,即
,
∴平面
,∴
,∴
平面
∴.
(Ⅱ)解:由,得底面直角梯形
的面积
,
由底面
,得四棱锥
的高
,
所以四棱锥的体积
.
由,
分别为
,
的中点,得
,且
,
又,故
,由(Ⅰ)得
平面
,又
平面
,
故,∴四边形
是直角梯形,
在中,
,
,
∴截面的面积
.
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