Question

14．如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
（1）求证：OD∥面PAB；
（2）当k=$\frac{1}{2}$时，求直线PA与BC所成角的余弦值；
（3）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

Answer 1

分析 （1）由三角形中位线定理得OD∥AP，由此能证明OD∥面PAB．（
（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出直线PA与BC所成角的余弦值．
（Ⅲ）不妨设OB=2，则AO=OC=2，AB=BC=2$\sqrt{2}=kPA$，G（x，y，z）为△PBC的重心，假设点O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心，则OG⊥平面PBC，由此利用向量法能求出当k=1时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心．

解答 （1）证明：∵点O、D分别是AC、PC的中点，
∴OD∥AP，
∵OD?平面ABP，AP?平面ABP，
∴OD∥面PAB．（5分）．
（2）解：以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．
当k=$\frac{1}{2}$时，不妨设OB=2，则OA=OC=2，AB=2$\sqrt{2}$，∴AP=4$\sqrt{2}$，∴OP=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2$\sqrt{7}$），

∴$\overrightarrow{PA}$=（0，-2，-2$\sqrt{7}$），$\overrightarrow{BC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2$\sqrt{7}$）．
设直线PA与BC所成角为α，
cosα=|cos＜$\overrightarrow{PA}，\overrightarrow{BC}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{PA}|•|\overrightarrow{BC}|}$|=|$\frac{-4}{\sqrt{32}•\sqrt{8}}$|=$\frac{1}{4}$，
∴直线PA与BC所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$．
（Ⅲ）不妨设OB=2，则AO=OC=2，AB=BC=2$\sqrt{2}=kPA$，
∴AP=$\frac{2\sqrt{2}}{k}$，OP=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}}{k}）^{2}-{2}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2-{k}^{2}}}{k}$．
∴A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，$\frac{2\sqrt{2-{k}^{2}}}{k}$），
$\overrightarrow{BC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-$\frac{2\sqrt{2-{k}^{2}}}{k}$）．
设G（x，y，z）为△PBC的重心，则G（$\frac{2}{3}，\frac{2}{3}，\frac{2\sqrt{2-{k}^{2}}}{3k}$）．
假设点O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心，则OG⊥平面PBC．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{OG}•\overrightarrow{BC}=-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}=0}\\{\overrightarrow{OG}•\overrightarrow{PB}=\frac{4}{3}-\frac{8-4{k}^{2}}{3{k}^{2}}=0}\end{array}\right.$，又k＞0，解得k=1．
∴当k=1时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心．

点评 本题考查线面平行的证明，考查两直线所成角的余弦值的求法，考查点到平面中的射影为重心时实数值的求法，是中档题，解题时要认真向量法的合理运用．