Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期，并求f（x）的最小值及此时自变量的集合；
（2）令g(x)=f(x+

π

8

)-1，判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据二倍角公式，和辅助角公式，将函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x化成正弦型函数，进而根据正弦型函数的性质判断出f（x）的最小正周期，然后求f（x）的最小值．
（II）根据函数图象的平移变换法则，求出函数g（x）的解析式，根据余弦型函数的性质，推出函数g（x）的奇偶性，根据奇偶性的定义，即可得到证明．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
其最小正周期是T=

2π

2

=π，
又当2x+

π

4

=-

π

2

+2kπ，
即x=kπ-

3π

8

（k∈Z）时，sin（2x+

π

4

）取得最小值-1，
所以函数f（x）的最小值是1-

2

，此时x的集合为{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}．     
（Ⅱ）g(x)=f(x+

π

8

)-1=

2

sin（2（x+

π

8

）+

π

4

）=

2

sin（2x+

π

2

）=

2

cos2x
∵g（-x）=

2

cos（-2x）=

2

cos2x=g（x）．
∴函数g（x）是偶函数．

点评：本题考查的知识点是三角函数中恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值，熟练掌握正弦型函数和余弦型函数的性质是解答本题的关键．