Question

（1）解关于x的不等式

x+3

x-5

+1＜0；
（2）记（1）中不等式的解集为A，函数g（x）=lg[（x-a-1）（2a-x）]，（a＜1）的定义域为B．若B⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由不等式

x+3

x-5

+1＜0，化为

2x-2

x-5

＜0?（x-1）（x-5）＜0，利用一元二次不等式的解法即可得出；
（2）要使函数g（x）=lg[（x-a-1）（2a-x）]，（a＜1）有意义，则（x-a-1）（x-2a）＜0，由a＜1，可得a+1＞2a．即可得出解集．
可得B=（2a，a+1）．再利用B⊆A，即可得出．

解答：解：（1）由不等式

x+3

x-5

+1＜0，化为

2x-2

x-5

＜0?（x-1）（x-5）＜0，
解得1＜x＜5，因此原不等式的解集为{x|1＜x＜5}；
（2）要使函数g（x）=lg[（x-a-1）（2a-x）]，（a＜1）有意义，则（x-a-1）（2a-x）＞0，即（x-a-1）（x-2a）＜0，
∵a＜1，∴a+1＞2a．
∴上述不等式的解集为{x|2a＜x＜a+1}．
∴B=（2a，a+1）．
∵B⊆A，∴

a＜1 2a≥1 a+1≤5

，解得

1

2

≤a＜1．
故当B⊆A，实数a的取值范围是[

1

2

，1)．

点评：熟练掌握分式不等式的等价转化为整式不等式、对数函数的定义域、一元二次不等式的解法、集合间的关系等是解题的关键．