Question

已知A、B、C是直线l上的三点，O是直线l外一点，向量

OA

、

OB

、

OC

满足

OA

=[f（x）+2f′（1）]

OB

-ln（x+1）

OC

．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的表达式；
（Ⅱ）若x＞0，证明：f（x）＞

2x

x+2

；
（Ⅲ）若不等式

1

2

x²≤f（x²）+m²-2m-3对x∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用从同一点出发终点在一条线上的三向量间的关系得到f（x）+2f'（1）-ln（x+1）=1，再求出y=f（x）的表达式，进而求出f'（1），找到f（x）=ln（x+1）．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-

2x

x+2

，利用导函数找出g（x）在（0，+∞）上的单调性，可得结论．
（Ⅲ）h（x）=

1

2

x2-f(x2)，转化为找h（x）在x∈[-1，1]上的最大值，让找出的最大值小于等于m²-2m-3即可．

解答：解：（Ⅰ）∵

OA

=[f（x）+2f'（1）]

OB

-ln（x+1）

OC

，且A、B、C在直线l上，
∴f（x）+2f'（1）-ln（x+1）=1，（2分）
∴y=f（x）=ln（x+1）+1-2f'（1），f'（x）=

1

x+1

，于是f'（1）=

1

2

，
∴f（x）=ln（x+1）（4分）

（Ⅱ）令g（x）=f（x）-

2x

x+2

，由g'（x）=

1

x+1

-

2(x+2)-2x

(x+2)2

=

x2

(x+1)(x+2)2

，
以及x＞0，知g'（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上为增函数，又g（x）在x=0处右连续，
∴当x＞0时，得g（x）＞g（0）=0，∴f（x）＞

2x

x+2

（8分）

（Ⅲ）原不等式等价于

1

2

x2-f(x2)≤m2-2m-3，
令h（x）=

1

2

x2-f(x2)=

1

2

x2-ln(1+x2)，则h'（x）=x-

2x

1+x2

=

x3-x

1+x2

，（10分）
∵x∈（-1，0）时，h'（x）＞0，x∈（0，1）时，h'（x）＜0，
∴h（x）在（-1，0）为增函数，在（0，1）上为减函数，（11分）
∴当x∈[-1，1]时，h（x）_max=h（0）=0，从而依题意有0≤m²-2m-3，
解得m≥3或m≤-1，故m的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）（12分）

点评：本题是函数和向量的一道综合题，在解题过程中用到从同一点出发终点在一条线上的三向量间的关系，即系数和为1这一结论．而后两问都用到了利用导函数求原函数的单调性，这是一道中档难度的题．