Question

（2012•泰安二模）给出下列三个命题：
①若直线l过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为2；
②双曲线C：

x2

16

-

y2

9

=-1的离心率为

5

3

；
③若⊙C1：x2+y2+2x=0，⊙C2：x2+y2+2y-1=0，则这两圆恰有2条公切线；
④若直线l₁：a²x-y+6=0与直线l₂：4x-（a-3）+9-0互相垂直，则a=-1．
其中正确命题的序号是

②③

．（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：①利用|AB|的最小值为抛物线的通径2p，进行判断．
②先将双曲线方程化成标准形式，再利用其几何性质求出离心率即可进行判断．
③求出两个圆的圆心和半径，再求出圆心距，由两圆的圆心距等于

2

，大于两圆的半径之差，小于两圆的半径之和，故两圆相交，从而得出结论．
④由直线垂直的等价条件求出两直线垂直时a的值，再判断其是否成立．

解答：解：①∵过抛物线y=2x²的焦点，且与这条抛物线交于A，B两点，则|AB|的最小值为抛物线的通径2p，由抛物线y=2x²
的方程即x²=

1

2

y 知，p=

1

4

，2p=

1

2

，则|AB|的最小值为

1

2

，故①不正确．
②双曲线C：

x2

16

-

y2

9

=-1即

y2

9

-

x2

16

=1，
a=3，b=4，c=5，∴它的离心率为

5

3

；正确．
③∵⊙C₁：x²+y²+2x=0，即  （x+1）²+y²=1，表示圆心为（-1，0），半径等于1的圆．
⊙C₂：x²+y²+2y-1=0 即，x²+（y+1）²=2，表示圆心为（0，-1），半径等于

2

的圆．
两圆的圆心距等于

2

，大于两圆的半径之差，小于两圆的半径之和，故两圆相交，故两圆的公切线
由2条，故③正确．
④当直线a²x-y+6=0与4x-（a-3）y+9=0互相垂直时，则有4a²+（a-3）=0，解得a=-1或

3

4

，故错．
故答案为：②③．

点评：本题考查直线、抛物线、双曲线、圆的性质，两圆的位置关系，掌握圆锥曲线的性质是解题的关键．