Question

设已知f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a，(a∈R)
（1）若x∈R，求f（x）的单调增区间；
（2）若x∈[0，

π

2

]时，f（x）的最大值为4，求a的值；
（3）在（2）的条件下，求满足f（x）=1且x∈[-π，π]的x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用两角和差的正弦公式，二倍角公式，哈见函数的解析式为 2sin(2x+

π

6

)+a+1，由
 -

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z 求得x的范围，即时所求的增区间．
（2）根据角的范围可得，当x=

π

6

时，f（x）的最大值为3+a=4，解得a 的值．
（3）由条件可得 sin(2x+

π

6

)=-

1

2

，故 2x+

π

6

=-

π

6

+2kπ或-

5π

6

+2kπ，k∈z，再由x∈[-π，π]，求得
 x的集合．

解答：解：（1）∵f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a=2sin(2x+

π

6

)+a+1，
∴-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z，解得：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈z，
∴f（x）的单调增区间为x∈[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈z，
（2）∵x∈[0，

π

2

]，∴当x=

π

6

时，sin(2x+

π

6

)=1，即f（x）的最大值为3+a=4，∴a=1
（3）∵2sin(2x+

π

6

)+2=1，∴sin(2x+

π

6

)=-

1

2

，∴2x+

π

6

=-

π

6

+2kπ或-

5π

6

+2kπ，k∈z，
∵x∈[-π，π]，∴x的集合为{-

π

6

，

5π

6

，-

π

2

，

π

2

}．

点评：本题考查两角和差的正弦公式，二倍角公式的应用，正弦函数的定义域、值域、单调性，确定角的取值范围，是解题
的难点．