Question

（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列满足, 且,
其中．
（I）求数列的通项公式;
（II）设数列的前项和为,令,其中,试比较与的大小,并加以证明．

Answer 1

解：（Ⅰ)因为,即
又,所以有,所以
所以数列是公比为的等比数列.     …………………………………………3分
由得, 解得.
故数列的通项公式为.  ……………………………………….6分
（II）因，所以
即数列是首项为,公比是的等比数列.
所以，……………………………………….……………………………………7分
则
又 .   ……………………………………8分

法一：数学归纳法
猜想
①当时，,上面不等式显然成立；
②假设当时，不等式成立
当时，.
综上①②对任意的均有……………………………………….10分
法二：二项式定理：因为,
所以
.
即对任意的均有.   ……………………………………..10分
又,  

所以对任意的均有.   ………………………….12分

解析