Question

（本小题满分12分）等比数列{a_n}中，a_n > 0(n∈N^*)，公比q∈(0,1)，且a₁a₅＋2a₃a₅＋a₂a₈＝25， a₃与a₅的等比中项为2.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设b_n＝log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n}的通项公式；

 

Answer 1

【答案】

解：(1)∵a₁a₅＋2a₃a₅＋a₂a₈＝25，∴a₃²＋2a₃a₅＋a₅²＝25，   ∴(a₃＋a₅)²＝25，

又a_n>0，∴a₃＋a₅＝5，  又a₃与a₅的等比中项为2，  ∴a₃a₅＝4.

而q∈(0,1)，   ∴a₃>a₅，∴a₃＝4，a₅＝1，   ∴q＝，a₁＝16，  ∴a_n＝16×()^n－1＝2^5－n.

(2)∵b_n＝log₂a_n＝5－n，∴b_n＋1－b_n＝－1，  b₁＝log₂a₁＝log₂16＝log₂2⁴＝4，

∴{b_n}是以b₁＝4为首项，－1为公差的等差数列，  ∴S_n＝.

 

【解析】略