Question

已知函数f（x）=a+bsin2x+ccos2x的图象经过点A（0，1）、B（

π

4

，1）．
（1）当a＜1时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）已知x∈[0，

π

4

]，且f（x）的最大值为2

2

-1，求f（

π

24

）的值．

Answer 1

分析：（1）先利用条件求出参数a，b，然后将三角函数进行化简，然后利用三角函数的图象研究函数的单调增区间．
（2）当x∈[0，

π

4

]，通过三角函数的图象结合f（x）的最大值，确定参数a，进而求值．

解答：解：（1）由f(0)=1，f(

π

4

)=1得：

a+c=1 a+b=1

即b=c=1-a，所以f(x)=

2

(1-a)sin?(2x+

π

4

)+a．
因为a＜1，所以1-a＞0，所以当2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，即kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

时，f（x）为增函数．
∴函数f（x）的单调增区间[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

](k∈Z)．（6分）
（2）x∈[0，

π

4

]，

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，即sin(2x+

π

4

)∈[

2

2

，1]．
当1-a＞0，即a＜1时f(x)max?=

2

(1-a)×

2

2

+a=2

2

-1，得a=-1；
当1-a＜0，即a＞1时，f(x)max?=

2

(1-a)×

2

2

+a=2

2

-1，无解；
当1-a=0，即a=1时

f(x)max=a=2 2 -1

，矛盾．

故f(x)=2

2

sin?(2x+

π

4

)-1，所以f(

π

24

)=2

2

×

3

2

-1=

6

-1．（12分）

点评：本题考查三角函数的恒等变换以及三角函数的图象和性质，熟练掌握三角函数的图象和性质是解决三角函数的关键．