题目内容
【题目】如图甲,在等腰梯形中,
,
,
是
的中点.将
沿
折起,使二面角
为
,连接
,
得到四棱锥
(如图乙),
为
的中点,
是棱
上一点.
(1)求证:当为
的中点时,平面
平面
;
(2)是否存在一点,使平面
与平面
所成的锐二面角为
,若存在,求
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)存在;
【解析】
(1)由题易证得,根据等腰三角形的性质可得
,
,则
平面
,由平行线的性质可知
平面
,则
,再利用
可得
,即可求证;
(2)由题以为原点,
为坐标轴建立空间坐标系
,设
,
,分别求得平面
与平面
的法向量,进而利用数量积求解即可.
(1)证明:连接,
,
由题,因为,
为
的中点,所以
,
因为是
的中点,所以
,
又,所以四边形
是平行四边形,所以
,即
,
所以,且
,
又,所以
平面
,
因为,所以
平面
,
因为平面
,所以
,
又因为,
为
的中点,所以
,
又,所以
平面
.
又平面
,所以平面
平面
.
(2)解:存在,
以为原点,
为坐标轴建立如图所示的坐标系
,如图所示,
不妨设棱长,由(1)可知
是等边三角形,
则,
,
,
,
设,且
,
,
则,
可得,则
,
,
设是平面
的一个法向量,
则,即
,
令,则
,
由(1)知平面
,则
是平面
的一个法向量,
若存在点,使平面
与平面
所成的锐二面角为
,
则,
解得,
所以存在点,使平面
与平面
所成的锐二面角为
,此时
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某校为了解高三年级不同性别的学生对体育课改上自习课的态度(肯定还是否定),进行了如下的调查研究.全年级共有名学生,男女生人数之比为
,现按分层抽样方法抽取若干名学生,每人被抽到的概率均为
.
(1)求抽取的男学生人数和女学生人数;
(2)通过对被抽取的学生的问卷调查,得到如下列联表:
否定 | 肯定 | 总计 | |
男生 | 10 | ||
女生 | 30 | ||
总计 |
①完成列联表;
②能否有的把握认为态度与性别有关?
(3)若一班有名男生被抽到,其中
人持否定态度,
人持肯定态度;二班有
名女生被抽到,其中
人持否定态度,
人持肯定态度.
现从这人中随机抽取一男一女进一步询问所持态度的原因,求其中恰有一人持肯定态度一人持否定态度的概率.
解答时可参考下面临界值表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 |