题目内容

已知函数f(x)=|sinx|的图象与直线y=kx(k>0)有且仅有三个交点,交点的横坐标的最大值为α,令A=
cosα
sinα+sin3α
,B=
1+α2
.则(  )
分析:作出函数f(x)=|sinx|的图象,利用函数f(x)=|sinx|的图象与直线y=kx(k>0)有且仅有三个交点,确定切点坐标,然后利用三角函数的关系即可得到结论.
解答:解:作出函数f(x)=|sinx|的图象与直线y=kx(k>0)的图象,如图所示,要使两个函数有且仅有三个交点,
则由图象可知,直线在(π,
2
)内与f(x)相切.
设切点为A(α,-sinα),
当x∈(π,
2
)时,f(x)=|sinx|=-sinx,
此时f'(x)=-cosx,x∈(π,
2
).
∴-cosα=-
sinα
α
,即α=tanα,
cosα
sinα+sin3α
=
cosα
4sinαcos2α
=
1
4sinαcosα
=
cos2α+sin2α
4sinαcosα
=
1+tan2α
4tanα
=
1+α2

即A=B.
故选:C.
点评:本题主要考查三角函数的图象和性质,利用数形结合是解决本题的关键.
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