题目内容

我们把由半椭圆 $数学公式$ （x≥0）与半椭圆 $数学公式$ （x≤0）合成的曲线称作“果圆”，其中a²=b²+c²，a＞0，b＞c＞0．如图，设点F₀，F₁，F₂是相应椭圆的焦点，A₁，A₂和B₁，B₂是“果圆”与x，y轴的交点，M是线段A₁A₂的中点．
（1）若△F₀F₁F₂是边长为1的等边三角形，求该“果圆”的方程；
（2）设P是“果圆”的半椭圆 $数学公式$ （x≤0）上任意一点．求证：当|PM|取得最小值时，P在点B₁，B₂或A₁处；
（3）若P是“果圆”上任意一点，求|PM|取得最小值时点P的横坐标．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
于是 $\text{[math]}$ ，
所求“果圆”方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
（2）设P（x，y），则 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴|PM|²的最小值只能在x=0或x=-c处取到．
即当|PM|取得最小值时，P在点B₁，B₂或A₁处．
（3）∵?|A₁M|=|MA₂|，且B₁和B₂同时位于“果圆”的半椭圆 $\text{[math]}$ 和半椭圆 $\text{[math]}$ 上，
所以，由（2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆 $\text{[math]}$ 上的情形即可． $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ ，即a≤2c时，|PM|²的最小值在 $\text{[math]}$ 时取到，
此时P的横坐标是 $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ ，即a＞2c时，
由于|PM|²在x＜a时是递减的，|PM|²的最小值在x=a时取到，此时P的横坐标是a．
综上所述，若a≤2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是 $\text{[math]}$ ；
若a＞2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是a或-c．
分析：（1）根据焦点F₀，F₁，F₂的坐标，分别求得|F₀F₂|和|F₁F₂|进而求得c²，则a可求得，进而求得果园的方程．
（2）设P（x，y），则|PM|可求，根据 $\text{[math]}$ 求得∴|PM|²的最小值只能在x=0或x=-c处取到．即|PM|取得最小值时，P在点B₁，B₂或A₁处．原式得证．
（3）根据题意可知研究P位于“果圆”的半椭圆 $\text{[math]}$ 上的情形即可．先表示出|PM|进而根据x的范围确定a和c不等式关系，看a≤2c时，|PM|²的最小值在 $\text{[math]}$ 时取到，根据|PM|²在x＜a时是递减的进而可知|PM|²的最小值在x=a时取到，进而分别求得P的坐标．
点评：本题主要考查了椭圆的应用．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．