题目内容

(本小题满分12分)

如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,侧棱PD垂直于底面,PDDC=2BCE为棱PC上的点,且平面BDE⊥平面PBC

   (1)求证:EPC的中点;

   (2)求二面角A-BD-E的大小.

解法一:(1)证明:如图,作CFBE,垂足为F

                由平面BDE⊥平面PBC

                         则CF⊥平面BDE,知CFDE

                         因为PD⊥平面ABCDBCCD

CDDE在平面ABCD内的射影,

                         所以BCDE,所以DE⊥平面PBC

                         于是DEPC,又PDPC,所以EPC的中点.………………6分

(2)作EGDC,垂足为G,则EGPD,从而EG⊥平面ABCD

                      作GHBD,垂足为H,连接EH,则BDEH

                         故∠EHG为二面角ABDE的平面角的补角.…………………9分

                         不妨设BC=1,则PDDC=2,

                         在Rt△EGH中,EGPD=1,

                          GH

                         ∴tan∠EHC

                         因此二面角ABDE的大小为-arctan.……………………12分

解法二:不妨设BC=1,则PDDC=2.

                  建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz

                  则D(0,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2).

       (1)证明:设,则E(0,).

                  设a= (x1y1z1)为面PBC的法向量,

                   则aa

                  又=(1,0,0),=(0,-2,2),

                  ∴ax1=0,a=-2y1+2z1=0,

                  取a=(0,1,1).

                  设b=(x2y2z2)为面BDE的法向量,

                  则bb

                  又=(1,2,0),=(0,),

                  ∴bx2+2y2=0,b=0,

                  取b=(,1).

                  ∵平面BDE⊥平面PBC

                  ∴a·b+1=0,=1.

                  所以EPC的中点.…………………………………………6分

(2)由(Ⅰ)知,b=(2,-1,1)为面BDE的法向量,

c=(0,0,1)为面ADB的法向量,

∵cos<bc>=

所以二面角ABDE的大小为-arccos.………………12分

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网