题目内容
(本小题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD的底面为矩形,侧棱PD垂直于底面,PD=DC=2BC,E为棱PC上的点,且平面BDE⊥平面PBC.
(1)求证:E为PC的中点;
(2)求二面角A-BD-E的大小.
解法一:(1)证明:如图,作CF⊥BE,垂足为F,
由平面BDE⊥平面PBC,
则CF⊥平面BDE,知CF⊥DE.
因为PD⊥平面ABCD,BC⊥CD,
CD为DE在平面ABCD内的射影,
所以BC⊥DE,所以DE⊥平面PBC.
于是DE⊥PC,又PD=PC,所以E为PC的中点.………………6分
(2)作EG⊥DC,垂足为G,则EG∥PD,从而EG⊥平面ABCD.
作GH⊥BD,垂足为H,连接EH,则BD⊥EH,
故∠EHG为二面角A-BD-E的平面角的补角.…………………9分
不妨设BC=1,则PD=DC=2,
在Rt△EGH中,EG=PD=1,
GH==,
∴tan∠EHC==.
因此二面角A-BD-E的大小为-arctan.……………………12分
解法二:不妨设BC=1,则PD=DC=2.
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,
则D(0,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2).
(1)证明:设=,则E(0,,).
设a= (x1,y1,z1)为面PBC的法向量,
则a⊥,a⊥,
又=(1,0,0),=(0,-2,2),
∴a=x1=0,a=-2y1+2z1=0,
取a=(0,1,1).
设b=(x2,y2,z2)为面BDE的法向量,
则b⊥,b⊥,
又=(1,2,0),=(0,,),
∴b=x2+2y2=0,b=+=0,
取b=(,,1).
∵平面BDE⊥平面PBC,
∴a·b=+1=0,=1.
所以E为PC的中点.…………………………………………6分
(2)由(Ⅰ)知,b=(2,-1,1)为面BDE的法向量,
又c=(0,0,1)为面ADB的法向量,
∵cos<b,c>==,
所以二面角A-BD-E的大小为-arccos.………………12分