Question

某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．
（1）现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图（1），使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF 面积S_△DEF的最大值；
（2）现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图（2），建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，设求△DEF边长的最小值．

Answer 1

分析：（1）设

CE

CB

=λ（0＜λ＜1），利用解直角三角形算出EF=2λ百米，再利用EF∥AB算出点D到EF的距离为h=

3

2

（1-λ）百米，从而得到S_△DEF=

1

2

EF•h表示成关于λ的函数式，利用基本不等式求最值即可算出△DEF面积S_△DEF的最大值；
（2）设正三角形DEF的边长为a、∠CEF=α且∠EDB=∠1，将CF和AF用a、α表示出，再用α分别分别表示出∠1和∠ADF，然后利用正弦定理表示a并结合辅角公式化简，利用正弦函数的值域即可求得a的最小值．

解答：解：（1）Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．
∴cosB=

BC

AB

=

1

2

，可得B=60°
∵EF∥AB，∴∠CEF=∠B=60°
设

CE

CB

=λ（0＜λ＜1），则CE=λCB=λ百米，
Rt△CEF中，EF=2CE=2λ百米，C到FE的距离d=

3

2

CE=

3

2

λ百米，
∵C到AB的距离为

3

2

BC=

3

2

百米，
∴点D到EF的距离为h=

3

2

-

3

2

λ=

3

2

（1-λ）百米
可得S_△DEF=

1

2

EF•h=

3

2

λ（1-λ）百米²
∵λ（1-λ）≤

1

4

[λ+（1-λ）]²=

1

4

，当且仅当λ=

1

2

时等号成立
∴当λ=

1

2

时，即E为AB中点时，S_△DEF的最大值为

3

8

百米²
（2）设正△DEF的边长为a，∠CEF=α
则CF=a•sinα，AF=

3

-a•sinα
设∠EDB=∠1，可得
∠1=180°-∠B-∠DEB=120°-∠DEB，α=180°-60°-∠DEB=120°-∠DEB
∴∠ADF=180°-60°-∠1=120°-α
在△ADF中，

a

sin30°

=

3 -asinα

sin∠ADF

即

a

1 2

=

3 -asinα

sin(120°-α)

，化简得a[2sin（120°-α）+sinα]=

3

∴a=

3

2sinα+ 3 cosα

=

3

7 sin(α+φ)

≥

3

7

=

21

7

（其中φ是满足tanφ=

3

2

的锐角）
∴△DEF边长最小值为

21

7

．

点评：本题在特殊直角三角形中求三角形边长和面积的最值，着重考查了解直角三角形、平行线的性质、正弦定理和三角恒等变换等知识，考查了在实际问题中建立三角函数模型能力，属于中档题．