题目内容
某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C=90°，AB=2百米，BC=1百米．
(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图(1)，使得EF‖AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF 面积S△DEF的最大值；
(2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图(2)，建造△DEF连廊（不考虑宽度）供游客休憩，且使△DEF为正三角形，求△DEF边长的最小值．
【答案】
（1）
；（2）
百米．
【解析】
试题分析：（1）求△DEF 面积S△DEF的最大值，先把△DEF 面积用一个参数表示出来，由于它是直角三角形，故只要求出两直角边DE和EF，直角△ABC中，可得
，由于EF‖AB，EF⊥ED，那么有
，因此我们可用CE来表示FE，DE．从而把S△DEF表示为CE的函数，然后利用函数的知识（或不等式知识）求出最大值；（2）．等边△DEF可由两边EF＝ED及
确定，我们设
，想办法也把
与一个参数建立关系式，关键是选取什么为参数，由于等边△DEF位置不确定，我们可选取
为参数，建立起与
的关系．
，则
，
中应用正弦定理可建立所需要的等量关系．
试题解析：（1）
中，
，
百米，
百米．
，可得
，
，
，
设
，则
米，
中，
米，C到EF的距离
米，
∵C到AB的距离为
米，
∴点D到EF的距离为
米，
可得
，
∵
，当且仅当
时等号成立，
∴当时，即E为AB中点时，
的最大值为．7分
（2）设正
的边长为，
，
则
，
设
，可得
，
，
∴
．
在
中，
，
即
，化简得
，12分
（其中
是满足
的锐角），
∴
边长最小值为百米．14分
考点：（1）面积与基本不等式；（2）边长与三角函数的最值．
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小学生10分钟口算测试100分系列答案
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