Question

设x，y满足约束条件

x-y+2≥0 4x-y-4≤0 x≥0 y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，则log3(

1

a

+

2

b

)的最小值为（　　）

A．1

B．3

C．2

D．4

Answer 1

分析：作出x、y满足约束条件

x-y+2≥0 4x-y-4≤0 x≥0 y≥0

的图象，由图象判断最优解，令目标函数值为6，解出a，b的方程，再由基本不等式求出

1

a

+

2

b

的最小值，代入求解即可．

解答：解：由题意、y满足约束条件

x-y+2≥0 4x-y-4≤0 x≥0 y≥0

的图象如图
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6
从图象上知，最优解是（2，4）
故有2a+4b=6
∴

1

a

+

2

b

=

1

6

（2a+4b）(

1

a

+

2

b

)=

1

6

（10+

4b

a

+

4a

b

）≥

1

6

×（10+2

4b a × 4a b

）=3，等号当且仅当

4b

a

=

4a

b

时成立
故log 3(

1

a

+

2

b

)的最小值为log₃3=1
故选A．

点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．