题目内容
设x，y满足约束条件
，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则
+
的最小值为（ ）
|
| 3 |
| a |
| 2 |
| b |
分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的四边形OABC及其内部，将目标函数z=ax+by对应的直线进行平移，可得当x=4且y=6时z的最大值为4a+6b=12．再利用基本不等式求最值，即可算出
+
的最小值．
| 3 |
| a |
| 2 |
| b |
解答：解：
作出不等式组
表示的平面区域，
得到如图的四边形OABC及其内部，其中
A（2，0），B（4，6），C（0，2），O为坐标原点
设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，
观察y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（4，6）=12，即4a+6b=12．
因此，
+
=（
+
）×
（4a+6b）=2+
（
+
），
∵a＞0，b＞0，可得
+
≥2
=12，
∴当且仅当
=
即2a=3b=3时，
+
的最小值为12，
相应地，
+
=2+
（
+
）有最小值为4．
故选：A
作出不等式组
|
得到如图的四边形OABC及其内部，其中
A（2，0），B（4，6），C（0，2），O为坐标原点
设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），将直线l：z=ax+by进行平移，
观察y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值
∴z最大值=F（4，6）=12，即4a+6b=12．
因此，
| 3 |
| a |
| 2 |
| b |
| 3 |
| a |
| 2 |
| b |
| 1 |
| 12 |
| 1 |
| 6 |
| 9b |
| a |
| 4a |
| b |
∵a＞0，b＞0，可得
| 9b |
| a |
| 4a |
| b |
|
∴当且仅当
| 9b |
| a |
| 4a |
| b |
| 9b |
| a |
| 4a |
| b |
相应地，
| 3 |
| a |
| 2 |
| b |
| 1 |
| 6 |
| 9b |
| a |
| 4a |
| b |
故选：A
点评：本题给出二元一次不等式组，在已知目标函数z=ax+by的最大值的情况下求
+
的最小值，着重考查了利用基本不等式求最值、二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
| 3 |
| a |
| 2 |
| b |
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