Question

【题目】已知函数f（x），φ（x）满足关系φ（x）=f（x）f（x+α）（其中α是常数）．
（1）如果α=1，f（x）=2x﹣1，求函数φ（x）的值域；
（2）如果α= ，f（x）=sinx，且对任意x∈R，存在x1 ， x2∈R，使得φ（x1）≤φ（x）≤φ（x2）恒成立，求|x1﹣x2|的最小值；
（3）如果f（x）=Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0），求函数φ（x）的最小正周期（只需写出结论）．

Answer 1

【答案】
（1）解：因为α=1，f（x）=2x﹣1，

所以φ（x）=（2x﹣1）（2x+1﹣1）=2（2x）2﹣32x+1，

令t=2x（t＞0），所以也就是求函数y=2t2﹣3t+1（t＞0）的值域，

所以φ（x）的值域为

（2）解：因为 ，f（x）=sinx，

所以 ，

因为对任意x∈R，存在x1，x2∈R，使得φ（x1）≤φ（x）≤φ（x2）恒成立，

所以φ（x1），φ（x2）应该分别为函数φ（x）在R上的最小值和最大值，

所以|x1﹣x2|的最小值就是函数φ（x）的半周期，

也就是|x1﹣x2|的最小值为 ．

（3）解：T=
【解析】（1）当α=1时，表示出φ（x），令t=2x（t＞0），使用换元法，讨论换元后的值域，（2）当 α = 时，化解得到 φ ( x )=sin2x，对任意x∈R，存在x1，x2∈R，使得φ（x1）≤φ（x）≤φ（x2）恒成立，可得到φ（x1），φ（x2）应该分别为函数φ（x）在R上的最小值和最大值，|x1﹣x2|的最小值就是函数φ（x）的半周期，求出结果即可，（3）根据周期计算公式即可.
【考点精析】关于本题考查的函数的值域，需要了解求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的才能得出正确答案．