题目内容
已知,椭圆C过点
,两个焦点为(-1,0),(1,0)。
(1) 求椭圆C的方程;
(2) E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值。

(1) 求椭圆C的方程;
(2) E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值。
解:(1)由题意,c=1,可设椭圆方程为
,
解得
,
(舍去),
所以,椭圆方程为
。
(2)设直线AE方程为:
,
代入
得
,
设E(xE,yE),F(xF,yF),
因为点
在椭圆上,
所以
,
,
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以-k代k,可得
,
,
所以直线EF的斜率为
,
即直线EF的斜率为定值,其值为
。

解得


所以,椭圆方程为

(2)设直线AE方程为:

代入


设E(xE,yE),F(xF,yF),
因为点

所以


又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以-k代k,可得


所以直线EF的斜率为

即直线EF的斜率为定值,其值为


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