Question

已知，椭圆C过点A(1，

3

2

)，两个焦点为（-1，0），（1，0）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意，c=1，可设椭圆方程代入已知条件得

1

1+b2

+

9

4b2

=1，求出b，由此能够求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线AE方程为：y=k(x-1)+

3

2

，代入

x2

4

+

y2

3

=1得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(

3

2

-k)2-12=0，再点A(1，

3

2

)在椭圆上，结合直线的位置关系进行求解．

解答：解：（Ⅰ）由题意，c=1，
可设椭圆方程为

1

1+b2

+

9

4b2

=1，
解得b²=3，b2=-

3

4

（舍去）
所以椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设直线AE方程为：y=k(x-1)+

3

2

，
代入

x2

4

+

y2

3

=1得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(

3

2

-k)2-12=0
设E（x_E，y_E），F（x_F，y_F），
因为点A(1，

3

2

)在椭圆上，
所以xE=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，yE=kxE+

3

2

-k．
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，
在上式中以-K代K，可得xF=

4( 3 2 +k)2-12

3+4k2

，yF=-kxF+

3

2

+k
所以直线EF的斜率KEF=

yF-yE

xF-xE

=

-k(xF+xE)+2k

xF-xE

=

1

2

即直线EF的斜率为定值，其值为

1

2

．

点评：本题综合考查直线与椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，避免出错．