题目内容
已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π（1）若|
| OA |
| OC |
| 7 |
| OB |
| OC |
（2）若AC⊥BC，求tanα的值．
分析：（1）利用向量的坐标运算求出
+
；利用向量模的坐标公式得到三角函数方程，求出α；求出两个向量的夹角．
（2）利用向量的坐标公式求出两个向量的坐标；利用向量垂直的充要条件列出方程求出cosa+sina=
；利用三角函数的平方关系将此等式平方求出cosα-sinα；求出sinα，cosα；利用三角函数的商数关系求出tanα．
| OA |
| OC |
（2）利用向量的坐标公式求出两个向量的坐标；利用向量垂直的充要条件列出方程求出cosa+sina=
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）∵
+
=（2+cosα，sinα），|
+
|=
∴（2+cosα）2+sin2a=7，
∴cosα=
又α∈（0，π），
∴α=
，即∠AOC=
又∠AOB=
，∴OB与OC的夹角为
；
（2）
=（cosα-2，sinα），
=（cosα，sinα-2），
∵AC⊥BC，∴
•
=0，cosα+sinα=
①
∴（cosα+sinα）2=
，∴2sinαcosα=-
∵α∈（0，π），∴α∈（
，π），
又由（cosα-sinα）2=1-2sinαcosα=
，cosα-sinα＜0，
∴cosα-sinα=-
②由①、②得cosα=
，sinα=
，
从而tanα=-
．
| OA |
| OC |
| OA |
| OC |
| 7 |
∴（2+cosα）2+sin2a=7，
∴cosα=
| 1 |
| 2 |
∴α=
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
又∠AOB=
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
（2）
| AC |
| BC |
∵AC⊥BC，∴
| AC |
| BC |
| 1 |
| 2 |
∴（cosα+sinα）2=
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∵α∈（0，π），∴α∈（
| π |
| 2 |
又由（cosα-sinα）2=1-2sinαcosα=
| 7 |
| 4 |
∴cosα-sinα=-
| ||
| 2 |
1-
| ||
| 4 |
1+
| ||
| 4 |
从而tanα=-
4+
| ||
| 3 |
点评：本题考查向量模的坐标公式、考查向量垂直的充要条件、考查三角函数的平方关系、商数关系、
考查cosα+sinα、cosα-sinα、2sinαcosα三者知二求一．
考查cosα+sinα、cosα-sinα、2sinαcosα三者知二求一．
练习册系列答案
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如图，在△ABC中，已知A（-
如图，已知A（-2，0），B（2，0），等腰梯形ABCD满足|AB|=-2|CD|，E为AC上一点，且已知A（2，0），B（3，3），直线l⊥AB，则直线l的斜率k=（ ）
| A、-3 | ||
| B、3 | ||
C、-
| ||
D、
|