对于各项均为整数的数列{an}.如果ai+i为完全平方数.则称数列{an}具有“P性质．不论数列{an}是否具有“P性质 .如果存在与{an}不是同一数列的{bn}.且{bn}同时满足下面两个条件:①b1.b2.b3.-.bn是a1.a2.a3.-.an的一个排列,②数列{bn}具有“P性质 .则称数列{an}具有“变换P性质．下面三个数列:①数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

对于各项均为整数的数列{a_n}，如果a_i+i（i=1，2，3，…）为完全平方数，则称数列{a_n}具有“P性质”．不论数列{a_n}是否具有“P性质”，如果存在与{a_n}不是同一数列的{b_n}，且{b_n}同时满足下面两个条件：
①b₁，b₂，b₃，…，b_n是a₁，a₂，a₃，…，a_n的一个排列；
②数列{b_n}具有“P性质”，则称数列{a_n}具有“变换P性质”．
下面三个数列：
①数列{a_n}的前n项和Sn=

(n2-1)；
②数列1，2，3，4，5；
③1，2，3，…，11．
具有“P性质”的为

①

；具有“变换P性质”的为

②

．

分析：对于①，求出数列{a_n}的通项，验证a_i+i=i²（i=1，2，3，…）为完全平方数，可得结论；
对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换P性质”，数列{b_n}为3，2，1，5，4，具有“P性质”；
对于③，因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，所以1，2，3，…，11，不具有“变换P性质”．

解答：解：对于①，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-n
∵a₁=0，∴an=n2-n
∴a_i+i=i²（i=1，2，3，…）为完全平方数
∴数列{a_n}具有“P性质”；
对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换P性质”，数列{b_n}为3，2，1，5，4，具有“P性质”，∴数列{a_n}具有“变换P性质”；
对于③，因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，所以1，2，3，…，11，不具有“变换P性质”．
故答案为：①，②．

点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键．