题目内容
在直三棱柱中,=2 ,.点分别是 ,的中点,是棱上的动点.
(I)求证:平面;
(II)若//平面,试确定点的位置,
并给出证明;
(III)求二面角的余弦值.
【
(1)见解析;(2)见解析;(3).
【解析】本题考查了线面平行与垂直及二面角的求法。第一问抓住线面垂直的判定定理须证,;第二问先说明是棱的中点,再,取的中点H,证明四边形为平行四边形,由线面平行的判定定理得证;第三问利用法向量求二面角的余弦值,要注意法向量的准确求解和余弦值的正负。
解: (I) 证明:∵在直三棱柱中,,点是的中点,
∴ …………………………1分
,,
∴⊥平面 ………………………2分
平面
∴,即 …………………3分
又
∴平面 …………………………………4分
(II)当是棱的中点时,//平面.……………………………5分
证明如下:
连结,取的中点H,连接,
则为的中位线
∴∥,…………………6分
∵由已知条件,为正方形
∴∥,
∵为的中点,
∴ ……………………7分
∴∥,且
∴四边形为平行四边形
∴∥
又 ∵
∴//平面 ……………………8分
(III) ∵ 直三棱柱且
依题意,如图:以为原点建立空间直角坐标系,……………………9分
,,,,
则,
设平面的法向量,
则,即,
令,有 ……………………10分
又平面的法向量为,
==, ……………………11分
设二面角的平面角为,且为锐角
. ……………………12分.