题目内容

   在直三棱柱中,=2 ,.点分别是 ,的中点,是棱上的动点.

(I)求证:平面

(II)若//平面,试确定点的位置,

并给出证明;

(III)求二面角的余弦值.

 

【答案】

(1)见解析;(2)见解析;(3).

【解析】本题考查了线面平行与垂直及二面角的求法。第一问抓住线面垂直的判定定理须证;第二问先说明是棱的中点,再,取的中点H,证明四边形为平行四边形,由线面平行的判定定理得证;第三问利用法向量求二面角的余弦值,要注意法向量的准确求解和余弦值的正负。

解: (I) 证明:∵在直三棱柱中,,点的中点,

   …………………………1分

,, 

⊥平面 ………………………2分

平面

,即 …………………3分

平面      …………………………………4分

  (II)当是棱的中点时,//平面.……………………………5分

证明如下:

连结,取的中点H,连接,

的中位线 

…………………6分

∵由已知条件,为正方形

的中点,

                                       ……………………7分

,且

∴四边形为平行四边形

又  ∵          

//平面                                    ……………………8分

 

(III) ∵ 直三棱柱

依题意,如图:以为原点建立空间直角坐标系,……………………9分

,,,,

设平面的法向量

,即

,有                             ……………………10分

平面的法向量为

==,                    ……………………11分

设二面角的平面角为,且为锐角

.                       ……………………12分.

 

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