题目内容
已知A，B，C，P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m，n，使
=m
+n
，且m+n=1．
| PC |
| PA |
| PB |
分析：根据向量法判断三点共线的充要条件，我们可以写出“
与
共线”的充要条件，分析与“存在唯一一对实数λ1，使得
=λ
，结合向量共线的条件，从必要性和充分性两方面来证即可．
| AC |
| AB |
| AC |
| AB |
解答：证：由
=m
+n
，m+n=1，得
+
=m
+n（
+
）
=（m+n）
+n
=
+n
，
∴
=n
．
∴A，B，C三点共线．
由A、B、C三点共线，知存在常数λ，使得
=λ
，
即
+
=λ（
+
），
=（λ-1）
+λ
=（1-λ）
+λ
，
令m=1-λ，n=λ，m+n=1，且
=m
+n
．
| PC |
| PA |
| PB |
| PA |
| AC |
| PA |
| PA |
| AB |
=（m+n）
| PA |
| AB |
| PA |
| AB |
∴
| AC |
| AB |
∴A，B，C三点共线．
由A、B、C三点共线，知存在常数λ，使得
| AC |
| AB |
即
| AP |
| PC |
| AP |
| PB |
| PC |
| AP |
| PB |
| PA |
| PB |
令m=1-λ，n=λ，m+n=1，且
| PC |
| PA |
| PB |
点评：本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，平面向量的基本定理及其意义，其中熟练掌握向量法判断三点共线的充要条件，是解答本题的关键．
练习册系列答案
举一反三同步巧讲精练系列答案
口算与应用题卡系列答案
名师点睛字词句段篇系列答案
相关题目
、
、
不构成空间的一个基底，则O、A、B、C一定共面
=m
+n
，且m+n=1．