Question

已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈(

π

2

，

3π

2

)．
（1）若|

AC

|=|

BC

|，求角α的值；
（2）若

AC

•

BC

=-1，求

2sin2α+sin2α

1+tanα

的值．

Answer 1

分析：（1）根据两向量的模相等，利用两点间的距离公式建立等式求得tanα的值，根据α的范围求得α．
（2）根据向量的基本运算根据

AC

•

BC

=-1求得sinα和cosα的关系式，然后同角和与差的关系可得到2sinαcosα=-

5

9

，再由

2sin2α+sin2α

1+tanα

=

2sinαcosα(sinα+cosα)

sinα+cosα

=2sinαcosα可确定答案．

解答：解：（1）∵|

AC

|=|

BC

|，
∴

(3-cosα)2+(0-sinα)2

=

(0-cosα)2+(3-sinα)2

化简得tanα=1
∵α∈(

π

2

，

3π

2

)．
∴α=

5π

4

．
（2）∵

AC

•

BC

=-1，
∴（cosα-3，sinα）•（cosα，sinα-3）=-1，
∴sinα+cosα=

2

3

∴2sinαcosα=-

5

9

，
∴

2sin2α+sin2α

1+tanα

=

2sinαcosα(sinα+cosα)

sinα+cosα

=2sinαcosα=-

5

9

．

点评：本题主要考查两角和与差的基本关系和三角与向量的综合题．三角函数与向量的综合题是高考的重点，每年必考的，一定多复习．