题目内容
【题目】已知椭圆C: =1(a>b>0),定义椭圆C上的点M(x0,y0)的“伴随点”为
.
(1)求椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程;
(2)如果椭圆C上的点(1,)的“伴随点”为(
,
),对于椭圆C上的任意点M及它的“伴随点”N,求
的取值范围;
(3)当a=2,b=时,直线l交椭圆C于A,B两点,若点A,B的“伴随点”分别是P,Q,且以PQ为直径的圆经过坐标原点O,求△OAB的面积.
【答案】(1)x2+y2=1,(2),(3)
【解析】
(1)由代入椭圆方程即可求得椭圆C上的点M的“伴随点”N的轨迹方程;
(2)由题意,求得椭圆的方程,根据向量的坐标运算,即可求得
(3)求得椭圆方程,设方程为,代入椭圆方程,利用韦达定理,根据向量数量积的坐标求得
,弦长公式及点到直线的距离公式,即可求得
的面积,直线
的斜率不存在时,设方程为
,代入椭圆方程,即可求得
的面积.
(1)设,由题意
,则
.
又,所以
.
(2)由椭圆C上的点(1,)的“伴随点”为(
,
)
则,得
,又
,则
.
点,在椭圆上,
,
,且
由于,
的取值范围是
.
(3)设,则
当直线的斜率存在时,设其方程为
,由
.
得 .
则
①
由以为直径的圆经过坐标原点
可得:
,即
.
又
整理得: ②
将①代入②得:
,则
,
所以.
又点到直线
的距离
所以
当直线的斜率不存在时,设其方程为
联立椭圆方程得
,得
.
解得:,从而
.
综上:的面积是定值.

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