Question

已知椭圆C的焦点是，，点P在椭圆上且满足|PF₁|+|PF₂|=4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：2x+y+2=0与椭圆C的交点为A，B．
（i）求使△PAB的面积为的点P的个数；
（ii）设M为椭圆上任一点，O为坐标原点，，求λ²+μ²的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）待定系数法求椭圆的标准方程．
（Ⅱ）（i）把直线l方程代入椭圆的方程，求出线段AB的长度，由三角形的面积求出三角形的高是，写出与AB平行且到AB的距离等于直线方程，考查此直线与椭圆交点的个数．
（ii）设M（x，y），则M（x，y）满足椭圆的方程，由题中条件用点M的坐标表示出λ和μ，计算λ²+μ²的值．
解答：解：（Ⅰ）∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|
∴点P满足的曲线C的方程为椭圆
∵
∴b²=a²-c²=1
∴椭圆C的标准方程为．（4分）

（Ⅱ）（i）∵直线l：2x+y+2=0与椭圆C的交点为A，B
∴A（-1，0），?B（0，-2），
若
∴
∵原点O到直线l：2x+y+2=0的距离是
∴在直线l：2x+y+2=0的右侧有两个符合条件的P点
设直线l′：2x+y+n=0与椭圆相切，则
有且只有一个交点
∴8x²+4nx+n²-4=0有且只有一个解
由△=0解得（设负）
此时，l′与l间距离为
∴在直线l：2x+y+2=0的左侧不存在符合条件的P点
∴符合条件的点P有2个．（10分）

（ii）设M（x，y），则x，y满足方程：
∵
∴（x，y）=λ（-1，0）+μ（0，-2）=（-λ，-2μ）
即：，从而有
∴．（14分）
点评：本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，点到直线的距离公式的应用，以及直线与圆锥曲线的交点问题．