Question

20．设函数f（x）=（x-4）³+x-1，{a_n}是公差不为0的等差数列f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=21，则a₁+a₂+…+a₇=（　　）

• A． 0
• B． 7
• C． 21
• D． 28

Answer 1

分析 根据f（x）=（x-4）³+x-1，可得f（x）-3=（x-4）³+x-4，构造函数g（x）=f（x）-3，从而g（x）关于（4，0）对称，利用f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=21，可得g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₇）=0，从而g（a₄）为g（x）与x轴的交点，由此可求a₁+a₂+…+a₇的值．

解答 解：∵f（x）=（x-4）³+x-1，∴f（x）-3=（x-4）³+x-4，
令g（x）=f（x）-3，
∴g（x）关于（4，0）对称
∵f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₇）=21，
∴f（a₁）-3+f（a₂）-3+…+f（a₇）-3=0，
∴g（a₁）+g（a₂）+…+g（a₇）=0，
∴g（a₄）为g（x）与x轴的交点，
因为g（x）关于（4，0）对称，所以a₄=4，
∴a₁+a₂+…+a₇=7a₄=28，
故选D．

点评 本题考查数列与函数的综合，考查函数的对称性，等差数列的性质，需要一定的基本功．