题目内容
【题目】已知四边形
是梯形(如图1)，
，
，
，
，E为
的中点，以
为折痕把
折起，使点D到达点P的位置(如图2)，且
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求点C到平面
的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】
（1）取
的中点M，连接
，
，
，根据
，易得
，再利用平面几何知识，由
，得到
，利用线面垂直的判定定理得到
平面
，进而由面面垂直的判定定理得证.
（2）由（1）知，平面，
为正三角形且边长为1， 设点C到平面
的距离为d，由等体积法
求解.
（1）证明：连接
，
因为
，
，
，E为
的中点，
，
所以四边形
是边长为1的正方形，且
.
如图，取的中点M，连接，，，
因为，
所以，且
，
.
因为
，
所以
.
所以
因为
，
，
，
所以，
所以.
因为
，
所以平面.
因为
平面
，
所以平面
平面.
（2）由（1）知，平面，
，且
.
因为
，
所以为正三角形且边长为1.
设点C到平面的距离为d，
则，
所以
，
即
，
解得
.
所以点C到平面的距离为.
【题目】新型冠状病毒（SARS-COV-2）是2019年在人体中发现的冠状病毒新毒株，主要通过呼吸道飞沫进行传播，鉴于其特殊的传播途径，某科学医疗机构发现一次性医用口罩起着一定的防护作用一般，口罩在投入市场前需做一系列的检测，其中罩体污点、鼻梁条缺陷、耳绳异常等常规瑕疵肉眼可见，而耳绳尤为关键，会出现耳绳缺失、错位、错熔、漏熔四种情况 .现在生产商大多采用全自动生产线生产口罩，某工厂现有甲（1台本体机拖2台耳带机）和乙（1台本体机拖3台耳带机）两条生产线，已知甲生产线的日产量为7万只，乙生产线的日产量为10万只，生产商为了了解是否有必要更换原有的甲生产线，在设备生产状况相同，不计其他影响的状态下，分别统计了两条生产线生产的1000只口罩的耳绳情况，得到的统计数据如下：
耳绳情况 | 合格 | 缺失 | 错位 | 错熔 | 漏熔 |
甲生产线 | 950 | 9 | 19 | 11 | 11 |
乙生产线 | 900 | 19 | 35 | 25 | 21 |
（1）从乙生产线生产的1000只口罩中随机抽取3只，将合格品的只数记为
，求的分布列和数学期望；
（2）假设口罩的生产成本为0.4元/只，若耳绳发生缺陷时可通过人工修复至合格来挽回损失。耳绳缺失、漏熔时人工修复费为0.01元/只；错位与错熔时需更换耳绳，其中耳绳成本为0.06元/根，人工修复费为0.02元/只．
①以修复费的平均数作为判断依据，判断哪一条生产线在每日生产过程中挽回损失时所需费用较少？
②若经一次检验就合格的口罩，生产商以1元/只的批发价销售给市场，经人工修复的打八折出售。以该工厂的日平均收入为依据分析该生产商是否有必要更换甲生产线？
