Question

5．已知函数f（x）=2^x+k•2^-x，k∈R
①若函数f（x）为奇函数，求实数k的值．
②若k＞0时f（x）_min=2，求函数g（x）=ksinx+cosx的值域．
对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 ①由函数f（x）为奇函数知f（0）=1+k=0，从而求k=-1，再代入原函数验证为奇函数即可；
②由k＞0时f（x）_min=2求得k值，代入g（x）=ksinx+cosx后利用辅助角公式化积得答案；把f（x）=2^x+k•2^-x代入f（x）＞2^-x，分离参数k后求得答案．

解答 解：①∵f（x）=2^x+k•2^-x为奇函数，
∴f（0）=1+k=0，解得k=-1．
经检验，f（x）=2^x-2^-x是奇函数．
故k=-1；
②当k＞0时，由f（x）=2^x+k•2^-x≥$2\sqrt{{2}^{x}•k•{2}^{-x}}=2\sqrt{k}$=2，
得k=1，
∴g（x）=ksinx+cosx=sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$．
∴函数g（x）的值域为[$-\sqrt{2}，\sqrt{2}$]；
对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，即
2^x+k•2^-x＞2^-x都成立，
也就是（1-k）•2^-x＜2^x都成立，
∴1-k＜（2^x）²，
∵x∈[0，+∞），∴（2^x）²≥1，
则1-k＜1，即k＞0．
∴实数k的取值范围是（0，+∞）．

点评 本题考查指数函数的性质，考查了三角函数最值的求法，训练了恒成立问题的解决方法，是中档题．