Question

对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）=

f(x)•g(x)    当x∈Df且x∈Dg 1      当x∈Df且x∉Dg -1   当x∉Df且x∈Dg

．
（1）若f（α）=sinα•cosα，g（α）=cscα，写出h（α）的解析式；
（2）写出问题（1）中h（α）的取值范围；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．

Answer 1

分析：（1）根据题中的新定义列出h（α）的解析式即可；
（2）根据余弦函数的值域，以及h（α）的解析式，求出h（α）的范围即可；
（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=

π

4

，可使h（x）=cos4x，理由为：根据若g（x）=f（x+α），利用诱导公式化简求出cos2x-sin2x的值，再根据h（x）=f（x）f（x+α），利用平方差公式及二倍角的余弦函数公式即可得到结果．

解答：解：（1）根据题意得：h（α）=

cosα   (α≠kπ，k∈Z) 1  (α=kπ，k∈Z)

；
（2）h（α）的取值范围是（-1，1]；
（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=

π

4

，
g（x）=f（x+α）=sin2（x+

π

4

）+cos2（x+

π

4

）=cos2x-sin2x，
则h（x）=f（x）f（x+α）=（sin2x+cos2x）（cos2x-sin2x）=cos4x．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数解析式的求解及常用方法，熟练掌握公式是解本题的关键．